数学发展的一大特征就是不断的抽象。因为当一些定理成立的时候，你可能并不知道你已经使用了超出你需要范围的东西，而抽象可以让你看清楚到底哪些条件、性质才是我们需要来证明这个定理的。拓扑学是这样的一门学科，它通过对“开集”这个概念的抽象，发展出了一套波澜壮阔的理论。在这篇文章，我想和大家谈谈拓扑，顺便聊聊如何用拓扑证明素数有无穷多个。
开集和邻域
前面说到，拓扑是对“开集”这个概念的抽象。那么，什么是开集呢？相信大家中学的时候都学过区间的概念，特别的，我们知道开区间就是形如 $(1,2)$ 这样的集合，而闭区间则是 $[1,2]$ 这样的集合。事实上，数轴 $\mathbb{R}$ 上的所有开集就是任意的开区间的并构成的集合。这就是所有的开集了吗？我们为什么要研究这个概念呢？为了说清楚这个问题，我们需要聊聊另外一个概念：邻域。
简单的说，我们有如下定义
我们称包含了这个点的一个开集为这个点的一个邻域。
比如 $(0,1)$ 就是 $0.5$ 的一个邻域，又比如 $(-\infty,\infty)$ 是任何一个点的邻域。当然后一个例子里的“邻域”看起来不怎么靠近。但是只要满足定义，它就是一个邻域！邻域这个概念正如它的名字所暗示的，它刻画了点和点之间的“邻里”关系。假如两个点 $A$ 和 $B$ 足够接近（它们是“邻居”），那么 $A$ 应该有许多邻域都包含 $B$；相反假如它们足够远离，那么 $A$ 应该有（和前一种比）更少的邻域包含 $B$。当然在数轴上，包含两个点的开区间总是有无穷多个，我们是很难直接比较多和少的（事实上它们总是一样多——等势的）。但是抛开严谨性，我们还是会觉得包含 $0$ 和 $1$ 的（连通的）开区间比包含 $0$ 和 $0.5$ 的（连通的）开区间要少——因为前者一定都在后者里面。通俗地讲，你可以把邻域理解成一个关系网，假如张三和李四认识，那么他们俩的关系网里重叠的人就会更多（有更多的“邻域”互相包含对方），反之就应该更少。
让我们回去看看开区间和闭区间的例子：比如 $(1,2)$ 和 $[1,2]$。它们最大的区别，就是 $1$ 和 $2$ 在后一个里面，却不在前一个里面。事实上，这两个点有一个非常重要的名字，他们叫做*边界点(boundary point)*。什么样的点是边界点呢？
这个定义看起来很抽象，但是不要被它吓到。还是让我们回到刚刚的例子，比如 $1$ 是 $[1,2]$ 的边界点。我们来检查一下它是否满足定义：任意包含 $1$ 的开集，它一定包含一个小于 $1$ 的数，这个数显然在 $[1,2]$ 外面，同时它一定包含 $1\in [1,2]$。所以满足定义！仔细思考了一下，这个定义除了有点拗口，还是很直观的。就像小时候同桌画的三八线。是不是在那根线的周围，既存在你的势力范围也存在他/她的势力范围？而不在那根线附近的话，你就总可以画一个圈使得这个圈完全是你的势力范围了！
开集就是那些不包含它们边界点的集合。假如一个点 $x$ 在集合 $U$ 中，而又不是 $U$ 的边界点，那么它的邻域满足什么样的条件呢？这个条件就是边界点邻域满足的条件的反面：存在一个 $x$ 的邻域，这个邻域完全包含在 $U$ 中！终于，我们可以给出（一般的）开集的定义了！🎉🎉🎉
等一下！啥玩意儿？！邻域不是用开集定义的么！怎么就又用来定义开集了？！作者你在玩我？假如你意识到了这个问题，说明你很认真的理解了前半部分的文章。是的，这是一个很严重的问题，我们陷入了循环定义！就像鸡🐔和蛋🥚，总要先有一个才能有另一个，但是到底现有哪个呢？数学家是很聪明的，他们很快就找到了一个解决办法：既然开集和邻域总要先定义一个才能有另一个，那我们就强行定义其中一个好了，比如我们来定义开集好了。怎么强行定义？就把所有的开集给你一个个列出来！你可以把下面提到的 $\mathscr{B}$ 想像成一个数据库，里面清晰的记录了所有的开集。你想知道一个集合是不是开集，只要把这个集合丢进 SQL 语言里查询一下就行了！但是，一个这样的“数据库”里的元素不能是任意的子集，它们还必须满足一定的条件：
- 整个空间和空集都在 $\mathscr{B}$ 中：$X\in \mathscr{B}$ 和 $\emptyset\in\mathscr{B}$.
- $\mathscr{B}$ 中任意多个元素（注意它们都是 $X$ 的子集）在 $X$ 中的并集，仍然是 $\mathscr{B}$ 中的元素
- $\mathscr{B}$ 中有限多个元素在 $X$ 中的交集，仍然是 $\mathscr{B}$ 中的元素
特别的，这样的一组数据称为集合 $X$ 的一个*拓扑 (topology)。一个集合 $X$ 配上它的拓扑 $\mathscr{B}$ 就称为一个拓扑空间 (topological space)*。
这个定义看起来很吓人，怎么一会儿要无穷并，一会儿又要有限交。我们慢慢来解释：第一条是某种边界条件，我们不细聊；我们想要第二条，是因为刚刚我们说过，一个开集就是它每个点都有一个包含在它里面的邻域，所以这个开集实际上是可以写成这样的邻域的并的。很显然这是一个无穷并，而我们又说过邻域就是（包含某个特定点的）开集，所以我们自然希望开集的无穷并还是开集！事实上因为（我们总是要求）开集有这个性质，在我们给出一个拓扑 $\mathscr{B}$ 的时候，我们甚至不会描述所有开集，而只是描述 $\mathscr{B}$ 的一个对于有限交封闭的子集，然后令开集就是这个子集的任意元素的并。我们通常称这样的子集生成了一个拓扑；来看第三条，为什么我们不要求无穷交是一个开集呢？因为在区间的情况下，开区间的无穷交就不见得是开集，比如 $\cap_n (-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n})=[0,1]$。我们在最一开始就说到，拓扑是对开集这个概念的抽象，所以假如我们现有的开集的例子不满足某个性质，自然我们就不应该去要求。
可能有人要问了，开集定义好了，那闭集呢？很简单，一个拓扑空间的集合是闭集，假如它的补集是开集。根据这个定义和上面拓扑的描述，我们很快就得到了一个等价的关于闭集的刻画：全空间和空集都是闭集；无穷多个闭集的交是闭集；有限多个闭集的并是闭集。
等一下，全空间（和空集）不是开集么，怎么它又成了闭集了？因为我们直觉上觉得开区间就不能是闭区间。事实上，（有限非空）开区间确实不能是闭区间。但是这个性质是这种“开区间”拓扑所特有的。对于一般的拓扑空间，这一点是非必要的！完全可以存在即开又闭的集合！注意：开和闭并不是相反的概念！“闭”并不是“不开”（回忆定义：“闭”是指它的补集是“开”的）。一个集合是既开又闭的，最多说明它的补集也是既开又闭的（比如全集和空集）。真正矛盾的说法是：一个集合既是闭集，又不是闭集！
拓扑空间的例子
让我们来举几个例子。第一个例子就是一开始就提到的开区间。这里的开集是定义成任意多个开区间的并或者空集。让我们来检查一下定义：首先全集 $\mathbb{R}=(-\infty,\infty)$ 和空集 $\emptyset$ 显然在里面；由于每个开集是任意多个开区间的并，任意多个开集的并就是任意多个任意多个开区间的并，根据定义也在里面；对于有限多个开集的交，我们需要运用如下集合论的知识：
我们知道两个开区间的交一定是开区间（一个直接的分类讨论即可）。所以根据上述引理，我们知道任意两个开集的交也是开集。接下来一个简单的归纳就可以说明任意有限个开集的交还是开集。所以这样的开集构成 $\mathbb{R}$ 的一个拓扑，一般称为*欧氏拓扑 (Euclidean topology)*。
接下来这个例子有点……耍赖。对于任意集合 $X$，我们取 $\mathscr{B}={X,\emptyset}$。定义不是要求要有这两个元素么，那我们就只取这两个元素。读者可以自行验证这个 $\mathscr{B}$ 是 $X$ 上的一个拓扑。我们称这个拓扑为 *平凡拓扑 (trivial topology)*。我们也可以取 $\mathscr{B}$ 是 $X$ 的所有子集的集合（比如 $X={1,2}$，那么 $\mathscr{B}={\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\}}$），读者可以再次自行验证这个 $\mathscr{B}$ 是 $X$ 上的一个拓扑。我们称这个拓扑为 _离散拓扑 (discrete topology)_。在离散拓扑下，任何一个子集都是既开又闭的（上面说到，这并不引起任何矛盾）！
那有读者就要问了：有没有有意思一点的拓扑呀？有！在实数轴 $\mathbb{R}$ 上，我们还可以赋予另一种拓扑。定义一个 $\mathbb{R}$ 的子集是*余有限 (cofinite)*的，假如它在 $\mathbb{R}$ 中的补集是有限点集。用人话说，就是你从数轴上扣掉有限个点，剩下的就是一个余有限集合。我们定义开集为空集和所有这样的余有限的集合。这就构成了一个拓扑，一般称为 * 余有限拓扑 (cofinite topology)。在数轴这个特殊的集合上，这种拓扑等价于另外一个在代数几何里非常重要的拓扑——扎里斯基拓扑 (Zariski topology)*。这种拓扑的特殊之处在于闭集等于有限集（为什么？）。所以任何一个无限集合一定不是闭集！
素数的无限性
好了，终于要开始说标题的另一半了：素数的无限性。首先，这是一个欧几里得就已经证明的结论。欧几里得在他的著作《几何原本》中提出如下证明：反设素数只有有限个，把他们标记为 $p_1,\ldots,p_n$ 。那么我们考虑 $N=p_1\cdots p_n + 1$。这个数不被任何一个已知素数整除，所以它的因数一定包含一个未知的素数，所以素数不可能是有限的！
Hillel Furstenberg 在1955年（当他还是一个本科生的时候！）提出了一个用拓扑证明素数无限的方法。用拓扑证明，很显然就是要定义开集。经过上面的长篇大论，我们已经知道什么叫开集了。那让我们来定义它们：首先令 $S(a,b)={ a n+b | n\in \mathbb{Z} }={a\mathbb{Z} +b}$ 表示从 $b$ 出发，以 $a$ 为公差往两侧延伸的等差数列。比如 $S(1,100)=\mathbb{Z},S(2,4)=$所有偶数。我们定义 $\mathbb{Z}$ 上的一个拓扑 $\mathscr{B}$ 是空集和所有的等差数列 $S(a,b)$ 的并。我们来运用所学的定义，仔细的验证一下这是一个拓扑：
- 定义第一条，我们要求 $\mathbb{Z}$ 和 $\emptyset$ 在 $\mathscr{B}$ 中。$\emptyset\in\mathscr{B}$ 是定义的一部分。而 $\mathbb{Z}=S(1,0)\in\mathscr{B}$ 自然也在其中。
- 定义第二条，$\mathscr{B}$ 中任意多个元素的并在 $\mathscr{B}$ 中。我们定义中已经允许任意取并了，所以这一条也是显然的。
- 定义第三条是验证中最困难的，我们有 $\mathscr{B}$ 中有限个元素，要验证它们的交还在 $\mathscr{B}$ 中。根据归纳法我们注意到，只需要验证两个元素的交还在 $\mathscr{B}$ 中就可以了。所以假设我们有两个元素 $A=\cup_i S(a_i,b_i)$ 和 $B=\cup_j S(c_j,d_j)$。运用上面的引理，我们有 $A\cap B = \cup_{i,j} (S(a_i,b_i)\cap S(c_j,d_j))$。 这是一个形如 $S(a_i,b_i)\cap S(c_j,d_j)$ 的集合的无穷并，假如我们能证明每个 $S(a_i,b_i)\cap S(c_j,d_j)$ 都要么是空集要么是某个 $S(e,f)$，那么我们就能断言 $A\cap B\in\mathscr{B}$ （是不是和欧氏拓扑里的证明很像？）。我们简化一下符号：我们要证明的就是Lemma $S(a,b)\cap S(c,d)=\emptyset$ 或者 $S(e,f)$。证明：假如 $S(a,b)\cap S(c,d)=\emptyset$ 那就没啥好证的了。假设$S(a,b)\cap S(c,d)\neq\emptyset$，那么存在一个 $f\in S(a,b)\cap S(c,d)$。令$e$ 是 $a$ 和 $c$ 的最小公倍数，我们声称 $S(a,b)\cap S(c,d)=S(e,f)$：显然等式右边是左边的子集（为什么？）。我们只要说明左边也包含在右边，对于任意的 $x\in S(a,b)\cap S(c,d)$。因为 $x\in S(a,b)$ 所以 $x-f$ 可以被 $a$ 整除。同理 $x-f$ 也可以被 $c$ 整除，所以 $x-f$ 一定可以被 $e$ 整除！所以 $x\in S(e,f)$。证毕。🎉🎉🎉 $\blacksquare$
现在，我们可以放心大胆的声称这样的集合（族）定义了一个拓扑，并开始使用这个拓扑了。为了证明素数有无穷多，我们需要如下观察：在上述定义的 $\mathscr{B}$ 这个拓扑下，
- 非空有限集合一定不是开集，（非全集的）余有限集合一定不是闭集：因为任何非空开集一定包含一个等差数列，所以一定是无限的集合。第二个论断是第一句话的等价说法。
- $S(a,b)$ 是既开又闭的集合（注意：上面我们讨论过，这不是一个矛盾的说法！）：这是因为全集是 $\mathbb{Z}=\cup_{i=0}^{a-1} S(a,b+i)$。所以 $\cup_{i=1}^{a-1} S(a,b+i)$ 是 $S(a,b)$ 的补集。又因为 $\cup_{i=1}^{a-1} S(a,b+i)$ 显然是个开集，所以 $S(a,b)$ 同时也是闭集。
Here comes the punchline! 我们观察如下等式
$$
\mathbb{Z}\setminus {\pm 1} = \cup_{p\text{ prime}} S(p,0)
$$
因为任何一个数要么是 $\pm 1$，要么是某个素数的倍数，所以上述集合相等。根据观察 1，我们知道左边的集合一定不是闭集。现在，假如素数有限，右边就是一个有限的并。根据第二条观察，我们知道这就是一个有限闭集的有限并，所以也是闭集。正如我们前面所说，一个集合可以是既开又闭，但是不能既是闭集，又不是闭集。所以我们得到了一个矛盾！从而假设错误，素数是无限的！